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高等数学复习

知识点总结按照《张宇1000题》目录来

第一章 函数极限与连续

1.映射f的值域R_fY的一个子集,不一定R_f=Y

2.R_f=Y,则f为满射,若X中任意x_1\neq x_2,都有f(x_1)\neq f(x_2),则f为单射,两者都满足为一一映射or双射

3.双曲正弦:sh\ x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

双曲余弦:ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

双曲正切:th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

4.左右极限不相等的间断点为跳跃间断点

5.\sqrt{1+f(x)}-1\sim \frac{1}{2}f(x)

6.x^2-sin^2x=(x+sinx)(x-sinx)\sim 2x\cdot \frac{1}{6}x^3

7.\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-x}{1+x^{2n}}= \left\{\begin{array}{lr} 0 & |x|>1\\1-x & |x|<1\\1 & x=-1\\0 & x=1 \end{array} \right.

8.有界量与无穷小之积仍是无穷小

第二章 数列极限

1.数列极限证明数列单调有界

第三章 一元函数微分学的概念

1.微分的定义:设函数y=f(x)在某区间内有定义,x_0x_0+\Delta x在这区间内,如果函数的增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)=f(x_0)可表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),其中A是不依赖于\Delta x的常数,那么称函数y=f(x)在点x_0是可微的,而A\Delta x叫做函数y=f(x)在点x_0相应于自变量增量\Delta x的微分,记作dy,即dy=A\Delta xdy\Delta y的线性主部

2.\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}存在,\lim\limits_{x\to 0}x=0,得\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0,由函数在x=0处连续得f(0)=0

第四章 一元函数微分学的计算

1.莱布尼茨公式求高阶导数:(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)} v^k

2.泰勒展开e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

第五章 一元函数微分学的应用(一)——几何应用

1.求斜渐近线\lim\limits_{x\to \infty}f(x)-(ax+b)=0

2.曲线的渐近线x趋于某个值时y趋于无穷,或者x趋于无穷时y趋于定值都是渐近线

3.已知f(0)f'(x)f(x),利用等式f(x)-f(0)=\int_0^xf'(t)dt

4.弧微分公式:ds=\sqrt{1+y^{'2}}dx

5.平均曲率:\bar K=|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|

曲率:K=\lim\limits_{\Delta s \to 0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}

设曲线的直角坐标方程为y=f(x),且f(x)具有二阶导数,曲率K的表达式为K=\frac{|y^{''}|}{(1+y^{'2})^{\frac{3}{2}}}

6.设曲线f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K\neq 0)。在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使|DM|=\frac{1}{K}=\rho。以D为圆心,\rho为半径作圆,这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆,圆心为曲率中心,半径为曲率半径。

7.求曲率时需要对直角坐标方程进行隐式求导,一次求导后求出y^{'}yx的关系式,在关系式上进行二次求导得到y^{''}

第六章 一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分不等式

1.证明恒等式令f(x)等于等式左边的函数,证明f'(x)恒等于0,然后代入特殊值证明

2.证明方程在某个区间内至少有一个实根,方程带数列且数列满足某个关系式,利用数列关系式构造合适的函数使得区间左右端点值代入函数值为相同,根据罗尔定理可以证明在区间内存在一个实数其导数为0

3.证明函数在某个区间内只有一个实根,区间右端点为+\infty且无函数表达式,根据拉格朗日定理构造出区间左端点和区间右端点为x区间内的函数关系式,根据导数的大小关系可以得到f(x)和某个具体函数表达式的大小关系,从而代入特殊值证明

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