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线性代数复习

复习按照《工程数学线性代数第六版》同济大学数学系编的课本章节来,由于线代内容不是很多,就不分小节了,按照每章总结知识点

第1章 行列式

1.二元线性方程组的解x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{\left|\begin{matrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_22\end{matrix}\right|}{\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right|}x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{\left|\begin{matrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{matrix}\right|}{\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right|}.

2.逆序数为奇数的为奇排列,反之为偶排列

3.在排列中将任意两个元素对调,其余元素不懂,这种操作叫做对换,将相邻两个元素对换叫做相邻对换

4.奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数

5.n阶行列式是n行n列的数表

6.主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式,特别的,主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式

7.行列式和它的转置行列式相等

8.对换行列式的两行(列),行列式变号,两行(列)相同,行列式为0

9.行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的前面

10.若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,可以拆成两个行列式之和

11.行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变

12.\left| \begin{matrix} \quad & \ & \ & \lambda_1 \\ \ & \ & \lambda_2 & \ \\ \ & \begin{rotate}{90} \ddots \end{rotate} & \ & \ \\ \lambda_n & \ & \ & \ \end{matrix}\right| =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

13.  在n阶行列式中,把(i,j)元a_{ij}所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a_{ij}的余子式,记作M_{ij},记A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}A_{ij}叫做(i,j)元的代数余子式

14.行列式等于它任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

15.行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0

16.范德蒙德行列式D_n=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \begin{rotate}{180}$\ddots$\end{rotate} &\begin{rotate}{180} \ddots \end{rotate} & \ &\begin{rotate}{180}$\ddots$\end{rotate} \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & \x_n^{n-1} \end{matrix}\right|.

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